Definição, exemplos e o teorema fundamental das curvas

Definição. eexemplos, orientação

Curvaturas princioais, cuevatura nédis e curvatura gaussiana

Aplicações do teorema de egregium Gaus e Gauss Bonnet

Medidas invariantes e exemplos.

Teorema da Recorrência de Poincaré e aplicações.

Versão Topológica do Teorema da Recorrência de Poincaré.

Demonstração do Teorema de Kac, exemplos e aplicações.

Definição da aplicação expansão decimal, estudo das medidas invariantes e aplicações.

Definição de rotações no círculo e rotações em toros, estudo das medidas invariantes e aplicações.

Definição, exemplos e demonstração das principais propriedades.

Definição de topologia fraca* no espaço das medidas de probabilidade sobre um espaço métrico, exemplos e propriedades.

Demonstração do Teorema de Portmanteau.

Demonstração que sob certas condições sobre o espaço métrico M a topologia fraca* é metrizável e até mesmo compacta.

   Lista 1 

Demonstração do Teorema Ergódico de Von Neumann e aplicações.

Demonstração e aplicações do Teorema Ergódico Maximal.

Demonstração do Teorema Ergódico de Birkhoff.

Aplicações do Teorema Ergódico de Birkhoff e enunciado do Teorema ergódico subaditivo.

Avaliação associada a lista de exercícios.

Definição de ergodicidade, conjuntos e funções invariantes e exemplos.

Equivalências ao conceito de ergodicidade e aplicações.

Ergodicidade da medida de Lebesgue para rotações em toros e expansão decimal.

Definição de deslocamento de Bernoulli, definição de medida de Bernoulli e exemplos.

Demonstração de que a medida de Bernoulli é invariante pelo deslocamento de Bernoulli.

Principais propriedades das medidas ergódicas.

Avaliação.

Definição de unicidade ergódica, exemplos e equivalências para unicidade ergódica.

Definição de conjunto minimal, exemplos e resultados envolvendo minimalidade e unicidade ergódica.

Definição de grupo topológico, exemplos e demonstração da existência da medida de Haar para grupos localmente compactos.

Demonstração do Teorema de Weyl e aplicações.

Entropia em teoria da informação, entropia de uma partição e exemplos.

Entropia de um sistema dinâmico, principais propriedades e exemplos.

Resultados envolvendo semicontinuidade da entropia.

Demonstração do Teorema de Kolmogorov-Sinai e exemplos.

Demonstração do Teorema de Kolmogorov-Sinai.

Aplicação da avaliação.

Definição de transformação expansiva e exemplos.

Demonstração que transformações expansivas sobre um espaço métrico compacto admitem medidas invariantes de entropia máxima.

Demonstração  do Teorema de Shannon-McMillan-Breiman.