Fixação das datas das 3 avaliações. Equiv. entre a solução do PVI e o ponto fixo da uma eq. integral. Exemplo n=1; x'(t) = 2 x(x). Ilustração do método das aproximações sucessivas para este exemplo. (16/03/2015 - 16/03/2015)

Exemplo de PVI em R^2: x_1'=-x_2, x_2'=x_1; x_1(0)=1, x_2(0)=0. Interpretação gráfica da soluão e seu espaço de fase. Definição da integração de funções vetoriais. Ilustração do metodo das aprox. sucessivas para este exemplo (tarefa para casa: provar por indução que m-esima iterada são os desenvolvimento de Taylor de ordem m. Enunciado do Teorema do Ponto Fixo de Banach para contrações com as estimativas: primeira e posterior. Exercício: provar que a estimativa posterior é melhor que a estimativa primeira. Tarefa para casa: Considere X=[0, 0.4] (intervalo) e T(x)=x^2. Seja x^{(0)}=0.4 (inicialização). a) mostre que vale |T(x) - T(y)| \leq c |x - y| para todo x,y \in X com c=0.8. b) Encontre o menor numero de interações m para que a precisão de x^{(m)} seja de 10^-7 usando a estimativa primeira e depois compare usando a estimativa posterior. (18/03/2015 - 18/03/2015)

Teorema de Picard (existencia local e unicidade, exige que f seja local lip2). Prova usa o Teorema de Ponto Fixo de Banach o qual tem três requerimentos: i. X seja espaço métrico completo (tomamos X=C[I_\delta, R^n] com \delta a ser determinado; ii. T(X_1) \subset X_1 para X_1 subconjunto fechado de X (tomemos X_1 = X \cap x(t_o)=x_o \cap \|x(t) - x_o\| \leq s para todo t\in I_r. O que se verifica se \delta = \min{r, s/M} onde M = max_{(t,x)\in R} \|f(t,x)| Obs: r>0 e s>0 foram possíveis de tomar pois Dom f=U é assumido ser aberto; além disto toma-se r e s tais que R\subset V onde V é a vizinhaça onde f é local lip2. iii. T:X_1 em si mesmo é uma contração (par garantir isto deve-se tomar \delta=min{ \delta anterior, 1/K}. Exercício 1: T: E em E, contínua e T^m contração para alguma m segue que T (embora não seja contração) tem um único pf. (exemplo concreto T(x)=cos(x), E=R e m=2); Exercício 2:\| T^{(m)}(x) - T^{(m)}(y)\|\leq K^m/m! \|x - y\| para todo x,y \in X_1. Combinando os dois exercícios anteriores obtemos que o delta na prova do teorema de Picardo pode ser tomado apenas como delta=min{r, s/M}. (23/03/2015 - 23/03/2015)

Teorema de Peano (existencia local, não garante a unicidade, não exige que f seja local lip2). Motivação: Exemplos de esp. vetoriais normadas X, conjuntos X_1 \subset X, e operadores T onde não vale que a sequencia T^(m) x_o converge para qualquer escolha de x_o \in X_1. Teorema de Ponto Fixo de Brower (dim X < \infty) Hipóteses sobre X_1: i) X convexo; ii) X ltdo; iii) X fechado; Hipóteses sobre T: 1) T(X_1) \subset X_1; 2) T contínua; Lema 1: Teo de ponto fixo de Schauder (dim X = \infty) exige hipótese adicional H3: T aplicacão compacta. Contraexemplo em "ele2" mostrando que a H3 eh crucial; Lema 2: Teorema de Ascoli-Arzelá (apenas uma condição suficiente para provar que T(X_2) tem fecho compacto para todo X_2 \subset X_1): I) T(X_2) é uniformemente limitada; II) T(X_2) é equicontínua. Prova do Teorema de Peano usando os lemas 1 e 2. (25/03/2015 - 25/03/2015)

2a.f: Início da seção: Prolongamento de soluções; Assume-se que f(t,x) seja local lip2 em todos os pontos de seu dommínio. Neste caso a solução maximal do PVI está bem definida - para isto usa-se o processo de colagem de PVI via o teorema de Picard. Exemplos: f(t,x)=x^2, t_o=0 e x_o=1 temos [0,1) como intervalo maximal futuro que é diferente de [o, + \infty) domínio temporal futuro de f. Neste caso dizemos que a solução não é global. De modo geral temos [t_o, \beta) \subset [t_o, b); Questão central desta seção: Sem saber a solução decidir se \beta = b ou \beta < b? Exemplo 2: f(t,x)=2x t_o=0 e x_o=1, neste caso \beta=b (=+\infity). Exemplo 3: f(t,x)=(1 - x).x neste caso \beta=b (=infity). O objetivo da proxima aula é estabelecer resultados de quando a solução maximal tem \beta = b, e aplicar isto para o exercício 11 da página 39. (30/03/2015 - 30/03/2015)

4a.f: Prolongamento de soluções (parte 2). Exemplos ilustrando que o beta (extremo direito do intervalo maximal) depende nao apenas de f mas sim tambpem de t_o e x_o. Ex1 f(x)=x^2, t_0=0 , x_0=1 temos beta=1; Ex2: f(x)=x^2, t_o=2 e x_o=-1, temos beta =\infty; Teoria para decidir se beta = infty ou beta < infty. Lema 0 (Análise I) se f:(a,b)\to R unif. continua entao admite extensão continua para [a,b]. Lema 1 (extensao de solução para intervalo fechado). H1: Seja x :[t_o, t_o + r) \to R^n, com r< \infty, solução do PVI x'=f(t,x) x(t_o)=x_o onde dominio temporal de f contem compacto K que contem [to, to + r). H2: x é limitada em [to, to + r). Então x admite uma extensão (única) para [to,to + r] que é (continua) tb. soluçao do PVI. (01/04/2015 - 01/04/2015)

2a.f: Lema 2 (Estimativa de Gronwall). Solução do exercício 11 página 39. Todas as soluçoes da eq. de Van der Pol são prolongáveis a + infinito. (06/04/2015 - 06/04/2015)

Resolução do exercício 6 página 39. (08/04/2015 - 08/04/2015)

Teoria: Continuidade da solução em relação as condições iniciais e a parâmetros. Exercício: Equivalencia entre os dois problemas: cont. em rel. a cond. inciais e cont. em rel. a parâmetros. Prova da continuidade em relação a parâmetros usando o Exercício 18. (13/04/2015 - 13/04/2015)

Viagem do professor (15/04/2015 - 15/04/2015)

Exercícios da lista: 1b e 3. (20/04/2015 - 20/04/2015)

Exercicio 7 do livro texto, exercicio 9 (livro texto). Exercicio 8 (livro texto). Exercício 4 (lista). Exerc´ciio 8 (lista). (22/04/2015 - 22/04/2015)

1a. Avaliação. (27/04/2015 - 27/04/2015)

Unidade 2: Sistemas Lineares. Introdução (possuem soluções unicas e globais (em todo intervalo J onde A:\R \to M_n (matriz formada pelas funções coeficientes) seja definida onde é sempre assumido que A seja contínua) e classificação: Linear com 1) coeficientes variáveis/ coeficietes constantes; 2) homogêneos/não homgêneos; Prova do Lema 3.1: o conjunto solução, denotado por $\Sigma_{A(t)}^{ }$ da EDO-vetorial x'=A(t)x (sistema homegêneo com coeficientes constantes) é um espaço vetorial de dimensão n. Além disto o isomorfismo linear entre \Sigma e \R^n é realizado pelas transf. lineares (uma a inversa da outra por) E_{t_o}: \Sigma \to \R^n e S_{t_o}: \R^n \to \Sigma, onde t_o é qualquer instante fixado de J, e E_t_o evalua x(t) em t=t_o; e S_{t_o}^{ }(v) é definida como a solução do PVI-vetorial x'=A(t)x; x(t_o)=v. (29/04/2015 - 29/04/2015)

Consequências do Lema 3.1: a) Se x_1(t), \dots , x_n(t) são soluções da EDO-vetorial x'=A(t)x e quando evaluadas em um instante t_o tem-se n vetores de R^n que são LI's então estas funcões sao LI's (LI vistas dentro do espaço vetorial C[J,\R^n]) e consequentemente os vetores x_1(t), \dots x_n(t) serão LI's nos demais instantes de J. b) vale o mesmo que a trocando-se todos "LI" por "LD". Tais consequencias podem ser utéis para mastra que certas funções nao podem ser soluções de uma mesma EDO-vetorial: Exemplo x_1(t)=[cos(t) , sen(t)] e x_2(t)=[1, t] uma vez que são funções LI's mas em t=0 nao são vetores LI's de R^2; Veremos que estas duas consequencias (a e b) podem ser deduzidas como consequencia da identidade de Liouville. Tal identidade diz mais que apenas LI ou LD mas sim da uma informação quantitiva do crescimento do determinante de qualquer matriz soluçao. (04/05/2015 - 04/05/2015)

Demonstração da Identidade de Liouville para o caso n=2; Tópico: PVI-Matriciais. Prop 1: Se \varphi_1, \dots \varphi_n:J\to \R^n são soluções da EDO-vetorial x'=A(t) x se e somente se a matriz \Phi(t) que tem estas funções como colunas é solução do PVI-matricial X'=A(t) X; Prop. 2: Tem-se a seguinte caracterização para o conjunto solução do PVI-vetorial x'=A(t)x: \Sigma_{A(t)}={ \Phi(t) c: c\in R^n}, onde \Phi(t) é qualquer matriz solução da EDO-matricial X'=A(t)X com funções colunas LI's, ou equiv, com Phi(t_0) matrix inversível. Definições: Qualquer matriz \Phi(t) que satisfaz a EDO-matricial X'=A(t)X é dita matriz soluçao; Alem disto se suas funçoes colunas forem LI's(o que é equiv a \Phi(t_o) ser matriz inversível para algum t_o\in J) neste caso \Phi(t) é dita ser matriz fundamental da EDO-matricial X'=A(t)X; Seja agora t_o\in J fixado, se Phi(t) satisfizer o PVI-Maticial X'=A(t)X; X(t_o)=Id, dizemos que ela a matriz fundamental principal relativa a matriz dos coeficientes A(t) e ao instante inicial t_o. Notação: Denota-se a matriz fundamental principal por apenas \Phi_p(t), ou para enfatizar a escolha do t_o (fixado), por K(t,t_o). Motivação da Notação K(t,t_o) é que a solução do PVI-vetorial x'=A(t) x; x(t_o)=x_o é dada por x(t)=K(t,t_o) x(t_o), assim, K(t,t_o) é a matriz que permite passar do vetor (inicial) no instante t_o para o vetor no instante t (arbitrário).e (06/05/2015 - 06/05/2015)

Aplicação da notação K(t,t_o) na fórmula da solução do EDO-vetorial x'=A(t)x + f(t) (linear com coef's variáveis mas NÃO HOMOGÊNEA). Introdução aos sistemas lineares com coeficientes constantes (x'=Ax). Dedução de que neste caso K(t,t_o)=exp(A(t - t_o)); Exponencial de matriz. Exercício 9 pag. 59: exp(At)exp(Bt)=exp((A+ B)t) se e somente se [A,B]=0. (11/05/2015 - 11/05/2015)

Teorema de Floquet. Se A(t + \omega)=A(t) então \Phi_{p}(t) =P(t) e^{Bt} com P(t) omega periódica. (13/05/2015 - 13/05/2015)

Método para encontrar exp(At) com a ajuda da diagonalização. Def 1 A \in M_n é diagonalizável se existe T\in M_n inversivel tal que T^-1 A T=\Lambda com \Lambda matriz diagonal. Def 2 Uma matriz A\in M_n é diagonalizável quando A adminte uma base de R^n cujos elementos são autovetores da matriz A. Prova-se que as duas def's são equivalentes. Caso 0: A é diagonal então [A^k]_{ij}=\delta_{ij} d_i^k. Caso 1: A é diagonalizável ou seja A=T\Lambda T^-1. Nestes casos temos as seguintes proposições: Prop 1 A^k =T \Lambda^k T^-1. Prop 2: exp(At) =T Diag(e^{\lambda_1 t} , \dots , e^{\lambda_n t})T^{-1}. Exemplo A=[1 2; 0 3] mostra-se que \lambda_1=-2 e \lambda_2=3; v_1=[2 -3]^t e v_2=[1 1]^t ... Espaço de phase: Origem é instável, ponto de sela. (18/05/2015 - 18/05/2015)

Decomposição de Jordan para a matriz A=[3 1; -1 5], definição de autovetor generalizado, e o cálculo de exp(At). Espaço de fase mostra que a direção do único autovetor (1,1) arrasta consigo as outras trajetórias. (20/05/2015 - 20/05/2015)

Teo da decomposição de Jordan (sem prova). Ilustração do calculo de exp(J_1 t) quando J_1 = [2 1 0; 0 2 1 ; 0 0 2]. Exemplos 2\times 2 motivando a definição da solução trivial ser estável. (25/05/2015 - 25/05/2015)

Definições de estabilidade da solução trivial. Prova do Resultado 1: Se \alpha_i \leq 0 e A é diagonalizável entao a) \|exp(At) \| \leq K .1; consquentemente b) x\equiv 0 é estável (tome delta=epsilon/K). Resultado 1.1: Caso A^t= - A (antisimétirca) então a) \alpha_i=0; b) \|\phi_a(t)\|=\|a\| para todo t; c) x\equiv 0 eh estável mas não assintoticamente. Exerciicio 9 (livro texto): Dê dois exemplos 2x2 de sistemas com autovalores zero mas que o primeiro seja estável e o seguinto instável. Solução A_1=[0 1; -1 0] e A_2=[0 1; 0 0]. (27/05/2015 - 27/05/2015)

Prova do Resultado 2: A (diagonalizável ou não) \alpha_i < 0 então x\equiv 0 é assint. estável; Prova do Resultado 2: Se \alpha_i >0 para algum i então x\equiv 0 é instável. Exercício 10 da lista: Consisere o PVI com n=2: x'= y; y'=-x + -\mu y; x(0)=a; y(0)=b. Para cada uma das 7 regiões: i. \mu >2; ii) \mu=2; iii) 0<\mu <2; iv) \mu=0; v) -2<\mu <0; vi) \mu=-2 e vii) \mu < -2. Classifique se a solução x\equiv 0 (tirivial) é I) Assintoticamente Estável; II) Estável mas não assint; III) instável; Classifique se o retrato de fase é nó assint estável próprio, no assint estável imprórprio, foco assint estável, centro, foco instável, fonte instável imprópria, fonte instável; Classifique para cada uma das sete regiões se A(\mu) é diagonalizável ou não. (01/06/2015 - 01/06/2015)

Exercício 19 da 2a.lista: Considere o conjunto: 1oQ={x\in R^n : x_i \geq 0 , i=1, ... n}. R1: Seja A\in M_n(\R) com a_{ij}^{ }\geq 0 para todo i\neq j. Se x_o\in 1oQ então x(t) continua no 1oQ para todo t\geq 0. Tal propriedade da matriz A é chamada de INVARIANZA FUTURA DO PRIMEIRO QUADRANTE. Deste modo o resultado R1 diz que se os elementos fora da diagonal são nao-negativos entao A tem InvFut1Q. Reciprocamente vale R2: Seja A\in M_n(\R). Se para todo x_o \in 1Q tem_se x(t)\in 1Q para todo t\geq 0 entao a_{ij}\geq 0 para i\neq j. Ou equiv. R\tilde{2}: Se a_{i_\ast, j_\ast}<0 para algum i_\ast, j_\ast com (i_\ast \neq j_ast) então existe x_o\in 1Q e existe t_\ast >0 tal que x(t_\ast) \notin 1Q. Mais precisamente x_o=e_j_\ast é tal que x_i_\ast(t_\ast)<0. (03/06/2015 - 03/06/2015)

Exercicio: \Phi(\omega) tem autovalor igual a 1 se, e somente se, x'=A(t) x com A omega periodica, admite solução omega periódica. Exercicio \dim Im( K(\omega,0) - I)=n se e somente se x'=A(t)x não admite solucoes constantes não omega periodicas. Exercicio: \Pi \rho_i = e^\int_{0}^{\omega} Tr{A(s)} ds. (08/06/2015 - 08/06/2015)

Exercício 8 Minhós. Teo: Sea sasoluções de u'=Au sao todas ltadas em [0,\infty) e \int ^{\infty} \|B(t)\| dt < \infty entao todas as soluções de v'=(A + B(t))v sao tb limitadas em [0,\infty). Exercicio 15 Minhos: x'' + x + (1 + 1/(1 + t^4) x=0) povar que tem soluções ltdas. (10/06/2015 - 10/06/2015)

Primeiro e Segundo Teoremas de Liapunov: Introduçao ilustrativa com exemplos e apenas o enunciado dos teoremas e suas diferenças. (15/06/2015 - 15/06/2015)

2a. Avaliação (17/06/2015 - 17/06/2015)

Prova do Primeiro teorema de Liapunov. (22/06/2015 - 22/06/2015)

Observação sobre delta_1 e delta_2 do primeiro teorema de Liapunov. Prova do Segundo teorema de Liapunov. (24/06/2015 - 24/06/2015)

Correção da prova do segundo teorema de Liapunov. Introdução do Lema 0 e refeito o lema 1. Introdução as funções de Liapunov para sist. lineares com coeficientes constantes -- Eq. matricial de Liapunov. Prova de que \int_{0}^{\infty} exp(A^t s) exp(A s) ds é convergente e satisfaz a Eq. matricial A^t B + B A = -I. (29/06/2015 - 29/06/2015)

Eq. de Liapunov. (01/07/2015 - 01/07/2015)

Criterio de não existência de orbitas peridicas de Bendixon (06/07/2015 - 06/07/2015)

Apresentação dos seminários (08/07/2015 - 08/07/2015)